Apuntes sobre Infinitos (2)

Apuntes sobre Infinitos (2)

 En la anterior entrada se citó en el primer ejemplo: conjunto de números reales, conjunto de números racionales, o lo de los puntos de una recta;

" por lo que se necesita una definición para el tamaño de estos conjuntos, pues la apelación a su número no sirve, ya que, el mismo número (nombre)  sirve para designar diferentes tamaños y por lo tanto distintos conjuntos. Para evitar esto, se puede definir el infinito diciendo que un conjunto es infinito cuando se puede establecer una correspondencia biunívoca entre él y una parte propia de él. Esta definición es compatible con la existencia de distintos infinitos."1

Otro par de "divagaciones" acerca de infinitos que encuentro interesantes:

* ¿Qué es una cantidad infinitamente pequeña?  Un número infinitamente pequeño (w) es un número que no es el 0, pero que será incapaz, por más que lo repitamos, de superar al 1 o al 1/2 o a cualquier otro número positivo que imaginemos. Para alcanzar el 1 con un número infinitamente pequeño (w) hace falta poner en funcionamiento un número infinitamente grande (i) de manera que entonces sí   (i)(w)=1

* Para explicar los conceptos relacionados a infinito Hilbert utilizaba a menudo el ejemplo de un hotel muy especial, uno que contaba con infinitas habitaciones numeradas: 1, 2, 3, 4, ....... hasta el infinito.

 Infinito + 1

 
Imaginemos que una noche de tormenta llega al hotel de infinitas habitaciones un viajero con evidentes intenciones de alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que avisa que está completo. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. Rápidamente, la recepcionista -posiblemente una matemática consumada- encuentra una solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los pasajeros se han movido de habitación, la primera queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el pasajero que se encontraba en el último cuarto, ya que en un hotel convencional se hubiese quedado sin lugar. Sin embargo, en el Gran Hotel de Hilbert no hay algo así como “último cuarto”, por lo que ese problema no existe. El infinito siempre admite “un lugar más” al final.

Este mecanismo de correr a los pasajeros hacia los cuartos con números más grandes puede aplicarse todas las veces que sea necesario para alojar cualquier número extra de pasajeros. Si llegasen 10, 20 o 256.345 pasajeros, bastaría con desplazar ese número de cuartos a cada una de las personas alojadas, y asunto resuelto. Pero ¿qué pasaría si al hotel, ya completo, llegasen infinitos pasajeros más?

Hotel infinito, pasajeros infinitos

 
Hilbert contaba que un día -estando su hotel lleno con infinitos huéspedes- llegó el representante de una agencia de viajes con un problema. Tenia una excursión compuesta por infinitos turistas que necesitaban hospedarse esa noche en el hotel, y así se lo planteo a la astuta recepcionista. No podia recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. Sin embargo, pudo resolver el problema. Simplemente, pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y las infinitas habitaciones impares quedaron libres. Así, los infinitos turistas pudieron alojarse sin problemas. ¿No es asombroso? 2

fuentes:

fuente 1

fuente 2