viernes, 22 de marzo de 2013

APUNTES SOBRE INFINITOS (1)

 Hace poco ví una imagen con humor friki en la que se hace alusión al concepto de infinito, y.....ya que muchas personas creen que todos los infinitos son iguales, pongo unos apuntes que pueden ayudar a recordar que matemáticamente hablando existen diferentes tamaños de infinitos, es decir, hay infinitos más grandes que otros infinitos. Pero primero la imagen friki:


Contando hasta infinito con ejemplos:

*Si consideramos los números múltiplos de 2 y los números naturales, ambos son infinitos, aunque por intuición "parece" que el primero es dos veces más pequeño que el segundo. En éste ejemplo ambos tienen el mismo tamaño, el cardinal de ambos conjuntos es el mismo. (se llama cardinal al número de elementos que posee un conjunto)

Esto es así, ya que se puede establecer una correspondencia única entre cada uno de los elementos del conjunto de números múltiplos del 2 y del conjunto de números naturales.

¿Se podría establecer una correspondencia entre los números reales y los racionales?
Evidentemente no, pues el conjunto de los reales no es numerable, mientras que el conjunto de los racionales sí lo es, por lo que los números cardinales de ambos conjuntos son diferentes.

Cuando hablamos de los naturales o de los puntos de una recta, o de un plano, o de los números racionales estamos considerando que cada conjunto es infinito, aunque sus "tamaños" sean distintos.

Diferentes infinitos en el cálculo de Límites:

Se pueden comparar infinitos para situaciones indeterminadas como las de infinito dividido para infinito.

Decimos que f(x) es un infinito si:
for.
por ello:
for
decimos que f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:
form
recordando que:
form.
siendo K un número cualquiera



Lo que con un poco de imaginación podríamos verlo así:

formu

Lo que se pretende hacer es conocer que tipo de funciones tienden más rápidamente a infinito respecto de otras, las que tiendan más rápidamente a infinito serán infinitos de orden superior.

En la tabla los valores correspondientes para una función exponencial; una potencial; y una logarítmica respectivamente:
formu.

Se puede observar cómo la exponencial crece más rápidamente que la potencial a su vez que la logarítmica, que crece más despacio.

Éstas expresiones aunque no se ajustan al rigor matemático para cálculos, se entienden bien desde un punto de vista didáctico lo relacionado con infinitos más grandes y más pequeños.

Concluyendo:

-Cualquier función potencial es un infinito de orden superior a cualquier función logarítmica.

-Cualquier función exponencial de base mayor que uno es un infinito de orden superior a cualquier función potencial.




fuentes:









3 comentarios:

Anónimo dijo...

primero corregir algunas cosas ya discutidas... sea cual sea la tendencia de la función, si tiende al infinito, pues tiende al infinito, no hay infinitos grandes ni pequeños, al decir "infinito" hablamos de un "numero" inalcanzable el cual no podemos ni imaginar ni escribirlo o dimensionarlo, el sentido comun indica que 2 veces infinito es mayor que infinito, pero al hacer esto estamos dimensionando al infinito, o sea darle un valor, sigue siendo infinito, por eso estan algunas indeterminaciones en limites.... en funciones reales no se habla de infinitos, pero en limites si... recordemos que limites nos indica tendencia a... o se aproxima a.... en tal virtud podemos decir que infinito multiplicado a cualquier valor, o a cualquier potencia sigue siendo infinito, no podemos decr si es mas grande que el otro porque no podemos dimensionarlo, insisto
bueno, solo formalidades, k no es un valor cualquiera, no puede ser cero para empezar, o nos dan indeterminaciones, y si k fuera negativo, el signo de infinito cambia tambien, Saludos compañero

ecua sapiens dijo...

Es cómo se "acelera" la tendencia al infinito lo que determina el orden superior de una (f) sobre otra. El sentido común no entra en este tema, ya que por definición "infinito" tiene características contraintuitivas (2 veces infinito NO es mayor que infinito). En lo de K, las características que mencionas son ciertas y en el ejemplo se presuponen.
Lo contraintuitivo de "infinito" se menciona más en la segunda entrada que subí, en el que se explica el clásico y conocido ejemplo del Hotel de Hilbert.
Saludos.

Anónimo dijo...

al tratar como tratas al infinito, estás tratando como funciones y no como un límite, me explico, primero dicho así, sea la función f(x)=k/x si calculas f(0) o simplemente f(x) cuando x=0 y dices que es igual a infinito, estás en un error matemático, no existe, el infinito no se menciona en funciones, por eso el dominio de dicha función será los Reales a excepción del cero, quiere decir que no hay cabida para el concepto de infinito, precisamente también por las tendencias en las gráficas, etc no existe f(0) en este caso, ahora es muy diferente con la misma función decir el límite cuando x tiende a cero, la tendencia de dicha función simplemenmte será al infinito, siendo k cualquier valor diferente de cero, el infinito como resultado o número solo se lo esxpresa en límites, pero no en funciones, si fuese así ahi tal vez podríamos valorar o calibrar cuán grande es el infinito.

Publicar un comentario