APUNTES SOBRE INFINITOS (1)
Hace poco ví una imagen con humor friki en la que se hace alusión al concepto de infinito, y.....ya que muchas personas creen que todos los infinitos son iguales, pongo unos apuntes que pueden ayudar a recordar que matemáticamente hablando existen diferentes tamaños de infinitos, es decir, hay infinitos más grandes que otros infinitos. Pero primero la imagen friki:
Contando hasta infinito con ejemplos:
*Si consideramos los números múltiplos de 2 y los números naturales, ambos son infinitos, aunque por intuición "parece" que el primero es dos veces más pequeño que el segundo. En éste ejemplo ambos tienen el mismo tamaño, el cardinal de ambos conjuntos es el mismo. (se llama cardinal al número de elementos que posee un conjunto)
Esto es así, ya que se puede establecer una correspondencia única entre cada uno de los elementos del conjunto de números múltiplos del 2 y del conjunto de números naturales.
¿Se podría establecer una correspondencia entre los números reales y los racionales?
Evidentemente no, pues el conjunto de los reales no es numerable, mientras que el conjunto de los racionales sí lo es, por lo que los números cardinales de ambos conjuntos son diferentes.
Cuando hablamos de los naturales o de los puntos de una recta, o de un plano, o de los números racionales estamos considerando que cada conjunto es infinito, aunque sus "tamaños" sean distintos.
Diferentes infinitos en el cálculo de Límites:
Se pueden comparar infinitos para situaciones indeterminadas como las de infinito dividido para infinito.
Decimos que f(x) es un infinito si:
por ello:
decimos que f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:
recordando que:
siendo K un número cualquiera.
Lo que con un poco de imaginación podríamos verlo así:
Lo que se pretende hacer es conocer que tipo de funciones tienden más rápidamente a infinito respecto de otras, las que tiendan más rápidamente a infinito serán infinitos de orden superior.
En la tabla los valores correspondientes para una función exponencial; una potencial; y una logarítmica respectivamente:
Se puede observar cómo la exponencial crece más rápidamente que la potencial a su vez que la logarítmica, que crece más despacio.
Éstas expresiones aunque no se ajustan al rigor matemático para cálculos, se entienden bien desde un punto de vista didáctico lo relacionado con infinitos más grandes y más pequeños.
Concluyendo:
-Cualquier función potencial es un infinito de orden superior a cualquier función logarítmica.
-Cualquier función exponencial de base mayor que uno es un infinito de orden superior a cualquier función potencial.
fuentes:
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